'Linear Algebra'에 해당되는 글 5건

  1. 2017.12.23 Unit vectors intro
  2. 2017.12.23 Vector examples
  3. 2017.12.21 Multiplying a vector by a scalar
  4. 2017.12.21 Adding vectors algebraically and graphically
  5. 2017.12.20 Vector intro for linear algebra

Unit vectors intro

 

이전에 벡터를 시각화 하는 것을 해보았다.

화살표는 벡터를 나타내고, 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나태낸다. 그리고 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냈다.

수학적으로 표현한다면, 벡터의 꼬리에서부터 벡터의 머리까지 수평방향에서 얼마나 떨어져 있을까?

그리고 수직방향으로는 얼마나 떨어져 있을까?

 

벡터 v = (2, 3)

Posted by 이성윤

Vector examples

 

이번 영상은 기초로 돌아가서 예시 위주의 강의이다.

 

는  순서가 주어진 2-튜플로서 모든 순서쌍의 집합이다.

 

 

벡터 a = (-1, 2), 벡터b = (3, 1).

 

벡터 a와 벡터 b를 성분별로 더한다.

 

보통 벡터는 어떤 점에서든 시작할 수 있다는게 관습이다.

(x1, x2)에서 시작한다고 했을때 벡터 a를 나타내보면 (x1 - 1, x1 + 2)가 된다.

 

(-4, 4) 시작접에서 벡터a를 나타내고 싶다면, 벡터 a의 첫 번째 성분에 -4를 더하고 벡터a의 두 번째 성분에 4를 더한다.

 

(-4, 4)에서의 벡터a

 

 

 

 

(-4, 4)에서의 벡터a를 그리면 아래와 같다.

 

수평으로 -1만큼, 수직으로 +2만큼 가는 벡터a는 어느 지점에서든지 나타낼 수 있다.

 

벡터b를 나타내면 다음과 같다.

standard position은 (0, 0) 이다. 표준점에서 벡터a, 벡터b, 벡터a + 벡터b 를 나타내면 다음과 같다.

벡터 a와 벡터b를 더했을 때 그 관계를 명확하게 표현해 주기 위해서 벡터a에 벡터b를 연결하는 것이다. 즉 벡터 a의 끝점에 벡터b의 시작점을 연결하라는 것이다.

정리하자면 표준점에서 시작한 a의 끝점에서 b를 시작하는 것이다. 그리하여 벡터 a의 시작점이랑 벡터 b의 끝점이랑 이으면 그게 바로 벡터의 합이 된다.

 

Vector에 양수의 Scalar를 곱하면 Magnitude만 확장된다

 

벡터 v, 벡터v * 2

 

x - y 그래프

 y - x

 

 

y - x 그래프

x 와 -x는 평행하며, 방향만 정반대이다.

 

 

벡터 a = (0, -1, 2, 3), 벡터 b = (4, -2, 0, 5)

 

벡터 4a - 벡터 2b 

 

 

 

 

 

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Posted by 이성윤

Multiplying a vector by a scalar

 

값이 (2,1)인 벡터 a가 있다.
 

 

 

Vector에 양수의 Scalar를 곱하면 Magnitude만 확장된다.

 

벡터 a에 3을 곱한다고 하면 3 x (2,1)과 같다. 3은 그저 숫자이며, 벡터는 얼마만큼 어느 방향으로 움직여야 하는지 크기와 방향, 둘 다 알려준다.

각각의 성분에 3을 곱하게 되면, 2와 1이 벡터의 각 성분이니 이들을 3으로 곱한다. (3 x 2)와 (3 x 1)이 된다. 스칼라를 곱한 벡터는 여전히 2차원 벡터(6, 3)이다.

 

벡터 a 와 스칼라 3을 곱한 그래프로 표현하면 아래와 같다.

 

위의 스칼라 곱을 하였을 경우 방향은 여전히 같은 방향을 가지고 있으며, 크기는 바뀌었다. 스칼라(scalar)가 확대(scale up)를 해주며, 스칼라(scalar)와 확대하다(scale up)의 어원이 같다. 스칼라의 곱은 벡터를 확대한다고 정리 할 수 있다.

 

각각의 성분에 -1을 곱하게 되면, 2와 1이 벡터의 각 성분이니 이들을 -1으로 곱한다. (2 x -1)와 (1 x -1)이 된다. 스칼라를 곱한 벡터는 여전히 2차원 벡터(-2, -1)이다.

 

 

 

 

Vector에 음수의 Scalar 곱을 하면 Direction은 반대방향이 되며 Magnitude도 확장된다.

 

 

 

 

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Posted by 이성윤

Adding vectors algebraically and graphically

 

벡터 a와 벡터 b 2차원 벡터 두 개가 있고, 벡터 a와 벡터 b의 합을 어떻게 정의할 수 있을까?

 

 

 

차원이 같은 두 vector의 합은 각 Component를 더한다.  벡터 두 개의 합은  벡터가 된다.

 

 

 

 

벡터(a)와 벡터(b) 둘다 의 벡터이다.

 

 

 

 

 

시각적인 혹은 개념적인 방향에서 이 벡터들을 그래프에 그려보자

 

 

중요한 것은 크기와 방향이다. 크기는 벡터의 길이로 표현되고, 방향은 벡터가 가리키는 방향이다. 크기와 방향이 같은 벡터는 어느 곳에 그려도 똑같은 벡터가 된다.

 

보라색 벡터(a)와 녹색 벡터(a)를 더한 것이 파란색 벡터(a + b)와 같다. 더하는 순서를 바꿔도 결과는 같다.

 

 

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Posted by 이성윤

Vector intro for linear algebra 

 

vector는 크기와 방향을 동시에 가지는 것이다.

vector() = magnitude() + direction()

 

"한 시간에 5마일의 속력으로 움직인다고 말할 수 있다" 하지만 이정보는 벡터가 아니다.

 

5mph(Speed)의 정보는 단지 크기의(Magnitude) 정보만 주기때문에 벡터가 아니라 속도(Scalar)이다.

 

누군가 "이 물체는 시속 5마일의 속력으로 동쪽으로 움직이고 있다" 라고 말 할 수 있다.

 

 

"시속 5마일로", "동쪽으로" 라는 정보가 합쳐져서 벡터가 되었다. 더이상 "속력(speed)" 이라 부르지 않고 "속도(Velocity)" 라고 부르게 되며 이것이 vector이다.

 

이러한 정보를 2차원에서 표현할 수 있다. 선형 대수는 2차원 뿐만아니라, 3,4,5차원 이상을 확장할 수 있고 3차원 이상을 상상하기는 어렵지만 수학적으로 3차원을 넘어서 차원을 다룰 수 있다.

 

vector는 크기와 방향만 신경쓰면 된다. Magnitude와 Direction이 같은 두 vector는 같은 vector이다.

 

 

vector를 변수로 표현하고 싶다면 소문자를 사용해 표현한다.

 

+x(동쪽), -x(서쪽), -y(남), +y(북) 좌표계에서 (5, 0)은 다음과 같이 vector로 표현 할 수 있다.

 

첫 좌표는 수평으로 얼만큼 움직였는지를 나타내고, 두 번째 좌표는 수직으로 얼마나 움직였는지를 나타낸다.

 

수평 방향으로 +3, 수직 방향으로 +4만큼 움직이는 Vector는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

위의 Vector의 Magnitude(크기 또는 길이)는 피타고라스의 정리로 구할 수 있다.

 

 

 

 

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Posted by 이성윤