민정♥성윤

Unit vectors intro

이전에 벡터를 시각화 하는 것을 해보았다.

수학적으로 표현한다면, 벡터의 꼬리에서부터 벡터의 머리까지 수평방향에서 얼마나 떨어져 있을까?

그리고 수직방향으로는 얼마나 떨어져 있을까?

벡터 v = (2, 3)

Vector examples

이번 영상은 기초로 돌아가서 예시 위주의 강의이다.

는  순서가 주어진 2-튜플로서 모든 순서쌍의 집합이다.

${\mathrm{(x1,\; x2)에서 x1,\; x2는\; 실수이며,\; 실수\; 집합의\; 원소이다.}}^{}$

벡터 a = (-1, 2), 벡터b = (3, 1).

벡터 a와 벡터 b를 성분별로 더한다.

보통 벡터는 어떤 점에서든 시작할 수 있다는게 관습이다.

(x1, x2)에서 시작한다고 했을때 벡터 a를 나타내보면 (x1 - 1, x1 + 2)가 된다.

(-4, 4) 시작접에서 벡터a를 나타내고 싶다면, 벡터 a의 첫 번째 성분에 -4를 더하고 벡터a의 두 번째 성분에 4를 더한다.

(-4, 4)에서의 벡터a

(-4, 4)에서의 벡터a를 그리면 아래와 같다.

수평으로 -1만큼, 수직으로 +2만큼 가는 벡터a는 어느 지점에서든지 나타낼 수 있다.

벡터b를 나타내면 다음과 같다.

standard position은 (0, 0) 이다. 표준점에서 벡터a, 벡터b, 벡터a + 벡터b 를 나타내면 다음과 같다.

벡터 a와 벡터b를 더했을 때 그 관계를 명확하게 표현해 주기 위해서 벡터a에 벡터b를 연결하는 것이다. 즉 벡터 a의 끝점에 벡터b의 시작점을 연결하라는 것이다.

정리하자면 표준점에서 시작한 a의 끝점에서 b를 시작하는 것이다. 그리하여 벡터 a의 시작점이랑 벡터 b의 끝점이랑 이으면 그게 바로 벡터의 합이 된다.

Vector에 양수의 Scalar를 곱하면 Magnitude만 확장된다

벡터 v, 벡터v * 2

x - y 그래프

 y - x

y - x 그래프

x 와 -x는 평행하며, 방향만 정반대이다.

벡터 a = (0, -1, 2, 3), 벡터 b = (4, -2, 0, 5)

벡터 4a - 벡터 2b 

Multiplying a vector by a scalar

값이 (2,1)인 벡터 a가 있다.
 

Vector에 양수의 Scalar를 곱하면 Magnitude만 확장된다.

벡터 a에 3을 곱한다고 하면 3 x (2,1)과 같다. 3은 그저 숫자이며, 벡터는 얼마만큼 어느 방향으로 움직여야 하는지 크기와 방향, 둘 다 알려준다.

각각의 성분에 3을 곱하게 되면, 2와 1이 벡터의 각 성분이니 이들을 3으로 곱한다. (3 x 2)와 (3 x 1)이 된다. 스칼라를 곱한 벡터는 여전히 2차원 벡터(6, 3)이다.

벡터 a 와 스칼라 3을 곱한 그래프로 표현하면 아래와 같다.

위의 스칼라 곱을 하였을 경우 방향은 여전히 같은 방향을 가지고 있으며, 크기는 바뀌었다. 스칼라(scalar)가 확대(scale up)를 해주며, 스칼라(scalar)와 확대하다(scale up)의 어원이 같다. 스칼라의 곱은 벡터를 확대한다고 정리 할 수 있다.

각각의 성분에 -1을 곱하게 되면, 2와 1이 벡터의 각 성분이니 이들을 -1으로 곱한다. (2 x -1)와 (1 x -1)이 된다. 스칼라를 곱한 벡터는 여전히 2차원 벡터(-2, -1)이다.

Vector에 음수의 Scalar 곱을 하면 Direction은 반대방향이 되며 Magnitude도 확장된다.

$${\mathrm{a벡터(6,\; -2),\; b벡터(-4,\; 4)}}^{}$$