Linear combinations and span

Linear combinations and span

 

Linear Combination(선형 결합)이란 실수 배의 스칼라 곱을 한 벡터들의 합을 말한다.

 

벡터 a = (1, 2), 벡터 b = (0, 3)

 

선형 결합은 (벡터 0a + 벡터 0b) 일 수도 있다. 0벡터를 얻는 것도 선형결합의 하나이다.

 

아무런 실수를 넣어 벡터 a와 벡터 b의 또다른 선형결합을 얻을 수 있다.

 

 Linear Combination에서 Linear가 붙는 이유는 벡터끼리 곱하고 있는게 아니라 벡터에 스칼라 곱을 하고 있기 때문이다. 스칼라 곱을 하게되면 선형으로 벡터가 줄어들거나 늘어나는 것을 의미한다.

※ 벡터의 곱셈은 뭔지 정의 하지도 않았다. (몇 가지 방법은 있다.) 벡터를 제곱할 수도 없다. (제곱하면 선형이 아니기 때문이다)

 

그럼 이 벡터들을 더하고 빼면서 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은 뭔가요

(벡터 3a + 벡터 -2b) = 벡터(3, 0) 그래프

위의 어떤 벡터든지간에, 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 즉. a를 아무렇게나 스칼라곱을해서 b를 어떤 방향으로든 더하면(위/아래) 위의 모든점을 나타낼 수 있다.

 

Span(생성)은 스칼라 곱을 벡터들의 선형 결합으로 생성된 공간을 의미한다. 위의 모든 벡터를 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

 

벡터 a=(2, 2), 벡터 b는 (-2, -2)로 잡을 경우 모든 벡터를 나타낼 수 없다. 그 이유는 항상 같은 선위에 놓이기 때문이다. ( 벡터 a와 벡터 b는 같은 기울기를 가진 벡터)

벡터 a = (2, 2), 벡터 b = (-2, -2)

 

벡터 a랑 벡터 b를 어떻게 선형결합을 구하든 간에 절대로 벡터 c를 구할 수 없다.

표준형태에서 더할 수도 있고, 벡터 a의 크기를 키우고 벡터 b도 키우고 시작점과 끝점을 연결해도 다 같은선 위에 놓이게 된다. 이와 같은 경우의 Span(벡터 a, 벡터 b)는  전첼가 아니고 직선이다.

0벡터의 Span은 결국 0벡터 하나 뿐이다. 

 

벡터 a의 span은 벡터 a 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는 벡터이다. 즉 실수배의 스칼라곱이다.  벡터 a하나의 span은 직선이라고 보면 되고 벡터 2 개의 span은 (두 벡터는 같은 직선상에 없어야 한다.)이다.

 

Span(생성)은 스칼라 곱을 벡터들의 선형 결합으로 생성된 공간을 의미하며 수학적으로 정의를 내리면 다음과 같다.

 

벡터 a, 벡터b의 선형결합으로 전체를 나타낼 수 있다는 것을 증명한다. 위의 어떤 점 x를 나타내고 싶다고 가정한다. 좌표(x1, x2)인 x1 과 x2를 정의하고 벡터 a와 벡터 b의 선형결합을 통해서 나타낼 수 있는 스칼라 곱 C1, C2를 구하는 공식을 구해낸다.

 

 

 

 

그럼 R^2 위의 어떤 점을 잡든 간에 임의의 실수 두 개를 잡는 건데요. 이대로 계산을 하면 그 점을 얻으려면 a와 b에 정확히 얼마만큼 상수배를 하는지 알 수 있죠

a와 b의 선형결합을 어떻게 해야 저 점에 다다를 수 있는지를

 

 

 

구해낸 공식이 벡터 x를 나타내는지 확인하기 위하여 벡터 a와 벡터 b의 값을 넣어 계산한다.

 

 

 

 

 

이 포스팅은 머신러닝/딥러닝을 위한 선행학습으로 칸 아카데미(Khan Academy)의 Linear algebra(선형 대수) Vectors and spaces의 Linear combinations and span 강의에 대한 학습노트입니다.