민정♥성윤

Span and linear independence example

선형대수학의 기본적인 두 가지 개념

첫 번째로 물어볼 것은 벡터 집합인 s에 관한 것이다. 벡터들은 모두 R³ 벡터들이며 세 개씩의 원소를 가지고 있을 때 s의 생성은 R³과 같을까?
두 번째 질문은 이 벡터들은 모두 선형독립할까?

R³를 생성한다는 것은 세 벡터로 구성된 임의의 일차식이 R³의 임의의 벡터를 표현할 수 있다는 것이다. 어떠한 실수 a, b, c가 주어질 때 c3, 나아가 c2, c1에 대한 식을 세울 수 있다.

스칼라 곱의 정의

실수 a, b, c에 대한 c1, c2, c3를 구하기 위한 식은 아래와 같다.

위의 식을 이용하여 c1, c2, c3를 구하면 다음과 같다.

R³의 임의의 벡터를 구하려면 임의의 실수 a, b, c가 주어지면 된다. 그러므로 임의의 실수 a, b, c가 주어진다면 세 벡터로 구성된 임의의 조합이 결과 벡터와 같을 것이다.

a, b, c의 값을 알면 c3의 값을 알 수 있을거고, c2는 c3에 a, b의 값과 함께 대입하면 계산할 수 있다. c2와 c3을 이미 구했으므로 a값과 함께 대입하면 c1도 구할 수 있다. 즉 a, b, c의 값에 관계없이 c1, c2, c3을 구할 수 있다. a, b, c의 값은 이 식과는 아무 상관이 없다.

세 개의 벡터로 이루어진 이 벡터 집합이 R³를 생성한다고 할 수 있다.

이 벡터들은 선형독립할까?

아래의 식이 선형독립하려면 벡터들의 조합이 0의 벡터가 되는 어떠한 조합을 찾아야 한다.

선형종속한다면 이 상수들 중 적어도 하나는 0이 아니라는 것이다. 반대로 선형독립한다면 이 식의 경우에서는 c1, c2, c3 모두가 0이어야 한다.

a=b=c=0 이라고 하면 이 벡터를 0으로 두는 것과 같다. 세 벡터 조합이 0의 벡터가 되려면 모든 계수가 0일 때 존재한다. c1, c2, c3 모두가 0임을 계산했기때문에, 선형독립하는 벡터 집합이 된다. 이 중 어떠한 벡터도 다른 두 벡터의 결합으로 표현될 수 없다는 뜻도 된다.

R³을 생성하는 정확히 세 벡터가 있고 그 벡터들은 선형독립하다. 이 말은 즉, 다른 두 벡터의 조합으로 표현되는 중복되는 벡터가 없다는 것이고 정확히 세 개의 벡터가 R³를 Span(생성)한다는 것이다. 그러므로 증명하지 않아도 일반적으로 R³를 생성하는 세 개의 벡터가 있다면 그 벡터들은 선형독립한다는 것이다. 선형독립하지 않는다면 그 중 하나는 중복되었거나 필요없다는 뜻이 된다. 

세 개의 벡터가 세 개의 요소로 된 집합이며 모두 선형독립한다면 그 벡터들이 R³을 생성한다고 볼 수 있다.

이 포스팅은 머신러닝/딥러닝을 위한 선행학습으로 칸 아카데미(Khan Academy)의 Linear algebra(선형 대수) Vectors and spaces의 강의에 Span and linear independence example 대한 학습노트입니다

More on linear independence

같은 Vector의 집합인 S가 있을 때, S의 Vector가 서로 선형 종속(Linear Dependence) 관계라는 것은 다음을 의미한다

벡터의 집합 S의 원소가 v1, v2, ... vn까지 있을 때 이 집합을 선형종속(Linear Depedence) 관계에 있다는것을 의미한다.

벡터의 집합 S의 선형 결합(Linear Combination)이 아래의 조건을 충족할 때, 적어도 1개 이상의 C1이 0이 아니면(모두 0은 아니다) 이 벡터들은 선형 종속 관계라고 말할 수 있다.

위의 선형 결합 공식에서 벡터 v1을 양변에서 뺴면 다음과 같은 결과가 나온다. 이것은 선형종속이며, 즉 이 벡터가 다른 벡터의 합으로서 (-1) * 벡터 v1에 다른 벡터들의 결합을 더한 것이 0인 방정식을 만족하게 된다. 그리고 적어도 한 상수는 0이 아니어야 한다. 따라서 다른 벡터의 합으로 한 벡터를 표현한다면 이 조건이 참임을 보인다.

즉, 집합 S의 선형 결합 공식이 참이면 위의 공식도 참이므로, 벡터들 중 하나는 그 벡터를 제외한 다른 벡터의 선형 결합으로 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

집합 S의 선형 결합 공식에서 Assume C1≠0일 때, 양변을 C1으로 나눌 수 있으며 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

위와 같이 선형 결합의 결과가 0 벡터일 때, C1 또는 C2가 상수가 0이 아닌 방정식을 만족한다면 선형 종속 관계를 나타내며, C1과 C2 모두 상수가 0이어야 한다면 선형 독립 관계를 나타낸다.

C1,C2의 값을 구하면 아래와 같다.

위의 식의 결과 방정식을 만족하는 답은 c1과 c2가 0일때 뿐이며, 따라서 둘 모두 0이 되어야 한다. 그리고 이것은 선형독립 집합이다. 이 두 벡터의 Span(생성)은 2차원 실수 공간 전체임을 알 수 있다.

벡터 (2, 1), 벡터 (3, 2), 벡터(1, 2)의 집합이 있을 때 이들이 선형독립인지, 선형종속인지 알아보자.

선형종속이려면 일단 어떤 상수들 c1, c2, c3에 대해서 이 벡터들에 상수를 차례로 곱한 것의 합이 0벡터가 되어야 합니다. 이중 적어도 하나가 0이 아니면 선형종속이다. 그리고 모두 0이면 독립이다.

선형 결합의 합이 0 벡턱를 만족하는 Ci를 구해야 한다.

2차원 벡터가 3개라면 그중 하나는 없어도 된다. 이는 만약 이 두 벡터가 선형독립이면 그 생성이 R²이기 때문이다. 다시 말해서 2차원 좌표상의 어떤 점도 이 둘의 결합으로 표현이 가능하다는 것이다.

0이 아닌 c3, c2, c1을 구해서 이 식이 0임을 보여보자. 임의의 c3을 c3=−1이라고(어떤 수든지 상관 없다) 정의하면 아래와 같은 식을 얻게 된다. 

위의 식을 이용하여 c1, c2를 구하면 다음과 같다.

이제 위의 계산을 통해 이 벡터들의 선형결합에서 c3가 0이 아닐 때, c1, c2도 0이 아닌 어떠한 상수도 0이 아닌 값이 나왔다. 적어도 하나가 0이 아님을 보여야하지만 여기서는 셋 모두 0이 아님을 보였다.

적어도 하나는 0이 아니여야 한다. 그리고 이 방정식을 만족해 0벡터로 만들 수 있었다.. 그러므로 이 벡터들의 집합이 선형종속 관계에 있다고 할 수있다. 2차원 벡터이기 때문에 이들의 Span(생성)이 2차원 실수 공간 전체를 나타내기 위해서 세 벡터 중 두 개만 있어도 되며 나머지 하나는 불필요하다. 그러나 이것이 결합으로 나타나기 때문에 항상 필요없다고만 말할 수는 없다.

이 포스팅은 머신러닝/딥러닝을 위한 선행학습으로 칸 아카데미(Khan Academy)의 Linear algebra(선형 대수) Vectors and spaces의 강의에 More on linear independence 대한 학습노트입니다.