민정♥성윤

Linear subspaces

wikipedia: Linear Subspaces

벡터공간 V의 부분집합 W가 V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로서 벡터공간을 이룰 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라 한다.

V는 의 부분 집합이다.

V가 부분공간이 되려면, V가 부분공간이거나 의 선형 부분공간이라면 다음의 3가지를 의미한다.

V가 영벡터를 포함한다는 것을 의미

만약 V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면, x가 V에 포함된 벡터 중 하나라면 임의의 실수를 x에 곱했을 때
 x가 V에 있고 V가 의 부분공간이라면 x에 임의의 스칼라를 곱한 값 또한 V에 있다. 이러한 경우를 "closure"라고 한다.

집합에서 어떤 원소를 다른 스칼라와 곱하더라도 그 값은 집합에 여전히 있을 것이다.  만약 어떤 스칼라랑 곱했는데 집합에서 벗어나게 된다면 부분집합에 없는 다른 벡터가 나오게 된다면 이 부분집합은 부분공간이 아니게 된다.

이 집합이 부분공간이 되기 위해서는 이 부분집합에 있는 임의의 벡터에 어떤 실수 스칼라를 곱하더라도 이 부분집합에 있는 또다른 원소를 얻어야 한다..

벡터 a, 벡터 b

두 원소를 더하면 이것은 부분집합 내의 임의의 두 원소가 됩니다 그리고 두 원소를 서로 더하면 부분집합 내의 또 다른 원소를 얻게 된다. 이것이 바로 덧셈에 대해 닫혀있다는 뜻이다.

영벡터를 포함하는 Rn의 부분집합이 있고, Rn 안의 어떤 벡터들의 집합을 가지고 있다면 그리고 곱셈과 덧셈에 대해 닫혀있다면 부분공간이 존재한다.

집합 V는 R3의 부분공간이 되려면 세 가지 조건을 만족해야 한다.
- 영벡터를 포함해야 한다.

- 곱셈에 대해 닫혀 있는가?

c 곱하기 0으로 즉 0이 나온다. 집합의 유일한 원소를 얻게 되므로 이 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있다.

- 덧셈에 대해 닫혀 있는가?

원소가 하나밖에 없는 상황에서 집합의 원소를 더한다면 벡터를 그대로 얻게 되므로 덧셈에 대해 닫혀 있다.

결론적으로 영벡터만을 가지고 있는 아주 단순한 R3의 이 부분집합이 부분공간이라는 게 확실히 밝혀졌다.

좌표축에서 특정 부분공간과 부분집합이 있다고 가정

1사분면, 4사분면 포함

- 0 벡터를 포함하고 있나?
벡터 (0, 0) 집합 S에 포함되어 있다.

- 이 집합의 두 벡터를 더한다면 그 더한 벡터도 이 집합에 속하나?

한 벡터의 꼬리를 머리에다 붙일 수 있다. 그럼 한 벡터가 나오게 된다.

- 스칼라 곱셈은 어떨까?

만약 벡터(a, b)에 -1을 곱하면 어떻게 될까?

시각적으로 볼 수 있듯이 명백하게 빠지게 된다. 수학적으로도 a를 양의 값으로 가정하면 명백히 음수가 된다. 그러므로 R2의 부분집합은 부분공간이 아니다. 곱셈 혹은 스칼라 곱셈에 대해 "Closure" 되지 않았기 때문이다.

어떤 집합의 선형생성에 대해서 생각해보자.

벡터 v1, v2, v3에 대해서 Rn의 유효한 부분공간인지 알아보자.

집합의 모든 선형결합이 선형생성인 집합을 U라고 정의한다. U를 그 선형생성으로 정의하고 U가 유효한 부분공간인지 확인한다.

- 0벡터를 포함하고 있는가?

위는 세 벡터들의 선형결합이다.

- 이 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있나?

명백히 세 벡터들의 또 다른 선형결합이다.  선형생성은 세 벡터의 모든 선형결합들의 집합이다.  따라서 그 선형결합들 중 하나이고 이 또한 선형 생성 안에 포함된다.  말하자면 U에 속해있다는 것이다.  이 또한 세 벡터의 선형생성 안에 있으며 곱셈에 대해 닫혀있다고 볼 수 있다.

- 덧셈에 대해 닫혀있는가?

v1, v2, v3의 선형결합이며, v1, v2, v3의 Span(생성)이 되므로 덧셈에 대해 닫혀 있다.

임의의 벡터의 Span(생성)이 유효한 부분공간이라고 하였다. 예를 들어 아래와 같이 정의한다.

- 0벡터를 포함하는가?

- 곱셈에 대해 닫혀있나?

Span(생성)은 모든 벡터들의 집합이다.  만약 모든 실수 c에 대해서 (1,1)에 곱한다면 그것이 Span(생성)이다. 명백히, 이것에 무엇을 곱하든 그것은 Span(생성) 안에 있는 다른 것과 동일할 것이다.

- 덧셈에 대해 닫혀있나?

(c1 + c2) 와 집합의 한 벡터의 곱이 되며, 명백히 Span(생성) 안에 있다. (c1 + c2)은 결국 또 다른 스칼라이며 이것을 (c1 + c2) = c3라고 부를 수 있게 된다.

이 포스팅은 머신러닝/딥러닝을 위한 선행학습으로 칸 아카데미(Khan Academy)의 Linear algebra(선형 대수) Vectors and spaces의 Linear subspaces 강의에 대한 학습노트입니다.