민정♥성윤

Basis of a subspace

부분공간 V는 어떠한 벡터집합의 생성과 같다. 임의의 벡터집합의 생성은 유효한 부분공간이라고 한다.

v₁ , v₂, ... , vn 벡터들의 생성이므로 n개의 벡터가 존재한다. v₁ , v₂, ... , vn에 이르는 벡터들의 집합은 선형독립이다.

생성이라는 것은 이 부분공간이 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합을 말한다. 각각 다른 상수를 곱한 선형결합으로 표현할 수 있다.  "c₁ x v₁  + c₂ x v₂ + ... + cn x vn" 이 결합의 모든 경우의 수를 벡터의 집합으로 만들면 그것이 바로 생성이며 부분공간 V의 정의이기도 하다.

선형독립의 정의는 곧 식 c₁ x v₁  + c₂ x v₂ + ... + cn x vn 의 결과가 영벡터라는 뜻이며 모든 항이 0이라는 뜻이다. c₁=c₂=cn=0 c1부터 cn까지 모두 0이다. 상식적으로 생각하면 이 중 어느 벡터도 나머지 벡터의 결합으로 표현될 수 없다는 것이다.

벡터집합의 생성이 부분공간(V)과 같거나, 부분공간(V)을 만들어내거나 혹은 부분공간(V)을 생성하고 동시에 모든 벡터가 선형독립일 때 우리는 이 집합을 S라고 정의할 수 있다. S는 v₁ , v₂, ... , vn의 집합이므로 벡터집합이 될 것이다.

그렇게 되면 우리는 다음과 같이 정의할 수 있다.  벡터집합 S가 부분공간 V의 basis이다.

어떠한 집합의 basis라는 것은 벡터들이 부분공간 V을 생성하고 부분공간 V의 어떠한 벡터도 될 수 있으며 그 벡터들은 선형독립이라는 것이다.

여러 방면에서 생각해보면, 한 가지는, 부분공간을 생성하는 것이 다양할 수 있다는 점이다. 다른 집합 T를 정의하여 집합 T를 집합 S의 벡터 v₁ , v₂, ... ,vn을 포함하며 또 다른 벡터도 포함하는 집합으로 정의해보자. 다른 벡터를 vs라고 하며 이는 집합 S에 하나의 벡터를 추가한 것이다. vs가 v₁와 v₂를 더한 것이라고 가정한다. 

이 집합은 선형독립이 아닐 것이다. 하지만 T의 생성은 여전히 부분공간 V와 같을 것이다. 하지만 이 집합을 선형독립이 아니도록 하는 벡터(vs)가 존재하기 때문에 이 집합은 그러므로 선형독립이 아니다. T는 선형종속이며 이 경우 T는 V의 basis라고 할 수 없다.

basis는 어떠한 공간을 생성(span)하는데 필요한 최소한의 벡터 집합이라고 볼 수 있다.

최소한의 벡터집합은 "v₁ , v₂, ... ,vn" 부분이다. T = {v₁ , v₂, ... ,vn, vs} 에서의 벡터 집합이 부분공간을 생성하기는 하지만 최소한의 집합이 아니라는 것을 알 수 있다.  왜냐하면 이 마지막 벡터가 없어도 똑같은 부분공간이 생성되기 때문이다. 이 마지막 벡터 없이도 나머지 벡터들이 부분공간 V를 생성할 것이다. "Span(T) = V" 그러니까 저 벡터는 불필요하다고 볼 수 있으며 basis에는 불필요한 중복이 존재하지 않는다. "이 벡터(v₁ , v₂, ... ,vn" )들은 부분공간 V의 임의의 벡터를 구성하기 위해서 모두 필요하다.

이 포스팅은 머신러닝/딥러닝을 위한 선행학습으로 칸 아카데미(Khan Academy)의 Linear algebra(선형 대수) Vectors and spaces의 Basis of a subspace 강의에 대한 학습노트입니다